2021北京高考数学压轴题的评析

笔者是2021年的北京高考生,6.10中午刚刚考完。北京是自主命题,相应的称为“北京卷”。北京卷数学的特色就是(真心简单,不信的建议去看看试卷然后和浙江高考数学对比一下,而不是听信网上的舆论)甚至我们班某位”实际上这位同学最后一问压根就没做,只是自我感觉前面稳了而已,因此估分(话说回来,现在数学似乎成了“难”的代名词,不管什么题网上都是叫苦声一片……不能理解,所以

但是不可小瞧北京卷,因为它的压轴题是真的难而且往往竞赛味道浓厚以至于纯高考生对于最后一问纷纷“望而却步”了,甚至常常第二问也难以得分。据老师说这是为了“控制满分人数”。现在北京新高考不分文理,第二问难度有所下降,这或许是为了照顾文科生吧。

现在我们就来一起感受一下今年的北京压轴题,从一个考生的角度来分析本题的思路和入手点,并和读者分享一下本人考场上的做题感受。话不多说,进入正题。

今年的北京高考试题和答案截至目前网上还没有找到,因此这个是“回忆版”,这个“回忆版”整体基本是正确的,读者可放心阅读。

先说一下大致感觉:读完题一时摸不透数列的变化规律,显然也不是等差/等比,同时条件②会让人感觉莫名其妙,为什么要以4为周期给一个大于关系?③就更奇怪了,看似每一项都有两种可能,这个数列便会异常复杂。这时最好的办法就是做前两问,因为这两问没有难度,同时还可以帮助你理解题意。下面先简单说一下前两问:

(1)容易发现它不是,一个好的想法是检验前四项是否满足③,因为它就给了前四项并且③要求最多,考场上应该一两分钟做掉。

(2)需要求第五项,那就顺着题来算吧。在计算的过程中便会发现似乎③可以准确“卡”出每一项的值,通过多次赋值并利用②,前五项的值都是唯一确定的,最后算完答案是1。但是过程比较啰嗦,毕竟得说清楚利用了哪一个或几个条件以及这一步是如何利用的,不然容易导致逻辑混乱,最后的结果便是阅卷老师难以理解导致扣分。可能写完这一问要5-10分钟

(3)这便是最难的一问了,到目前为止,我们对三个条件的作用已经有了一个大致的认识:在这三个条件的作用下,数列并非像一开始想的那样“飘忽不定”,而是每一项都有唯一确定的值。遗憾的是我们目前对数列的变化规律还无法掌控,我们在(2)只算了前五项,似乎也看不出来什么。

对于(3)暂时没有什么思路,不要紧,我们从头开始逐一计算就好了,先看看到底有什么规律——算四个是远远不够的,要摸清规律至少算八项。哦,原来是-p,-p,-p,-p+1,-p+1,-p+1,-p+1,-p+2……好了,至此我们可以大胆猜想其变化规律:每四个增一个于是便可以写出其通项公式,保险起见(假如时间充裕)我们可以再算几项验证一下,与猜想的结果符合的很好。

漂亮!通项有了这题岂不手到擒来,已知条件也就是“前n项和最小是前10项和”这很容易转化,无非就是第10项附近数列有个正负变化,代入通项公式直接得到p=2,结束!

真的做完了吗?其实没有,首先,目前我们没有证明该通项公式的合理性,只是猜到了而已。或许有人认为:与其猜通项不如慢慢算一直算到第11项,然后由条件得到p=2,后面的管他呢。这样依旧不行,因为要保证“前n项和最大是前10项和”必须要知道后面的项。

即便“投机取巧”取m=1得到数列单调不减于是后面的项都非负,所以可保证(3)的条件成立,这样也还是不太好,毕竟只有定性的“非负”,在没有通项时,直接说“利用已知条件可得到所有项,并且该数列满足①②③”略显不负责任,毕竟p=2时真的存在一个数列满足①②③吗?通过在③中取特殊值计算某一项时,不同的取法对应的运算结果是否会自相矛盾?这些疑问都无法说清。

这告诉我们:通项公式是避不开的,实际上猜到以后证明通项很简单,就是把算前几项的过程换成一般的k用数学归纳法格式抄一遍罢了。经过整理,便得到了以下的解答

本题的难度相比以往有所下降,个人认为北京高考压轴的难度巅峰出现在2012和2019年,这两年的压轴难度可以达到二试第三题的水平(据说12年无人满分)感兴趣的读者可以自己尝试一下。

今年的21题思维难度一般,主要就是列举和找规律(这是两个很重要的思想),同时不需要什么竞赛基础。但是过程并不好写,一个完整的三问的过程大致需要两页纸,命题组也很理解我们,答题纸最后一题历来都是两页A4纸的书写空间。

但是遗憾的是我在考场上并没有写完最后一问,前面20道题力求满分而刻意放慢了速度,差不多是做一个检查一个以至于最后一题只剩下35分钟去做。第二问一开始还出了计算错误,最终(3)只有20分钟。开始不知从何入手,简单思考后便在答题纸上逐一写过程计算前几项一直算到第八项,而后就只有五六分钟了。匆匆忙忙整理了通项公式,写了一个归纳的框架代入条件求出p=2后便收卷了,归纳过渡最终没来得及写。以下便是我在考场上写的过程,当时还出现了一点笔误(就像图中这样)估计最终(3)得分不会太高。

北京卷数学,对于有能力做到前20题不丢分的同学,可以考虑做21题的后两问,因为这是一个展示你们能力的舞台,也是一个和其他人拉开差距的绝佳机会。对于(2)即便是高三学生,经过一个月甚至两周的训练基本上就可以拿下,而(3)在高三很难练成。所以建议学有余力并且有志于高考数学满分的同学,在高一高二就学习一些竞赛内容,积累经验,这到了高三无疑会给你们带来巨大的帮助。

实际上北京卷数学满分很不容易,19年只有两人,20年仅1人。并且2020高考数学题目中规中矩,可是145及以上五万考生中只有50人——还没有省一的人多,这是为什么呢?因为高考考场上做题的心态不一样,前面求稳的前提下做最后一题最多也不过就40分钟。一般而言单纯书写工整,完整,规范的过程就需要20分钟,真正可以思考以及在草稿纸上演算的时间不多。况且对于第三问拿满6分的试卷,往往会被若干名老师联合公审……满分真的不易啊!

6.25日更新:最终本人数学149,最后一题因归纳不完整以及未检验扣了一分……看起来阅卷组改的比较松

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